Problemă de geometrie plană

Date iniţiale:

      1.    ABCD – pătrat cu latura de lungime L

2.   Se construieşte segmentul (DE) astfel încât unghiul EDC=15^o

3.   Se construieşte segmental (DF) astfel încât unghiul ADF=30^o

 

De aflat: măsura unghiului FED.

Rezolvare:

1. Construcţia ajutătoare : triunghiul DCH  astfel încât unghiul CDH=15^o  =>

=> unghiul EDC ≡ unghiul CDH  => [EC] = [CH]

2. unghiul GDH = unghiul GHD = 75^o => triunghiul GDH – isoscel =>[GD] = [GH]
3. în triunghiul GDC :

Dacă construim segmentul de dreaptă (JC) a.î. unghiul JCD = 60^o =>

triunghiul DJC – echilateral

triunghiul JCG – isoscel    =>

=> 2*[DC] = [GD] = 2*L

2. + 3. => [GB] + [BE] + [EC] + [CH] = 2*L

                 [BE] + [EC] = L                                   =>

                  [EC] = [CH] (1.)                                 

=>  [GB] + [EC] = L

      [BE] + [EC] = L  =>

=> [GB] = [BE] => triunghiul GFE – isoscel =>

=> unghiul FGE = unghiul GEF = 30^o =>

=> măsura unghiului FED este 75^o