Spaţiu, timp, univers de Lee Smolin

Problemă probabilitaţi (3)

http://www.gottfriedville.net/mathprob/prob-3cards.html

Enunţ:

Să presupunem că se împart 3 cărţi dintr-un pachet standard de 24 de cărţi de joc (constând din 4 aşi, 4 – 2-ari, 4 3-ari, 4 4-ari, 4 5-ari si 6 şesari.

Care este probabilitatea de a avea în mână cel puţin două cărţi de inimă roşie?

Demonstraţie:

1.  Numărul total de variante de 3 cărţi extrase dintr-un total de 24 de cărţi de joc (nu contează ordinea) este

N_t = C₂₄³ (combinări de 24 luate cate 3) = (24)!/((24-3)!(3)!) = 2024

2. Numărul total de variante 3 cărţi din care cel puţin două de inima roşie este

N_tr = N_tr2 + N_tr3

Unde

N_tr2 - Numărul de variante 3 cărţi din care două sunt de inimă roşie

N_tr3 - Numărul de variante 3 cărţi din care toate sunt de inimă roşie

a) Numărul de variante 3 cărţi din care două sunt de inimă roşie

Numărul de variante 2 cărţi de inimă roşie extrase dintr-un total de 6 cărţi de inimă roşie (nu contează ordinea) este

N_r2 = C₆² (combinări de 6 luate cate 2) = 6!/((6-2)!)*(2)!) = 15

Deoarece pentru fiecare variantă de două cărţi de inima roşie extrase există 18 (24 de carti – 6 cărţii inima roşie) variante de trei cărţi din care două sunt de inima roşie =>

Numărul de variante 3 cărţi din care 2 sunt de inimă roşie este

N_tr2 = 18 * 15 =  270

b) Numărul de variante 3 cărţi din care toate sunt de inima roşie

N_tr3 = C₆³ (combinări de 6 luate cate 3) = 6!/((6-3)!)*(3)!) = 20

a) + b) =>

N_tr = N_tr2 + N_tr3 = 270 + 20 = 290 (se poate folosi şi formula lui Vasiliu)

1.  + 2. => P – probabilitatea de a avea in mana cel puţin două cărţi de inimă roşie (din trei cărţi) este

P = N_tr / N_r = 290 / 2024 ~ 0,14 =>

P ~ 14% 

Problemă de teoria numerelor (2)

http://www.gottfriedville.net/mathprob/nt-divby6.html

Enunț:

Arătați că pentru oricare număr natural n expresia n^3+11n este divizibilă cu 6.

Demonstraţie:

n^3 + 11n = n^3 + 11n = n^3 + 12n – n = n(n^2-1) + 12n = (n-1) * n * (n+1) + 12n

deoarece expresia 12n este divizibilă cu 6 este suficient să demonstrăm că

expresia (n – 1) * n * (n + 1) este divizibilă cu 6 (cu 2 şi respectiv cu 3)

deoarece n – 1, n şi respectiv n + 1 sunt 3 numere naturale consecutive cu siguranţă

- cel puţin unul dintre ele este par şi

- cel puţin unul dintre ele este divizibil cu 3

=> expresia n^3 + 11 n este divizibilă cu 6

Q.E.D. 

Problemă de teoria numerelor (1)

http://www.gottfriedville.net/mathprob/nt-div240.html

Enunț:

Daca n este un număr prim mai mare decât 5, să se demonstreze că n^4 -1 este divizibil cu 240.

Demonstraţie:

Ştim că:

240 = 2^4 * 3 * 5 şi

n^4 - 1 = (n – 1) * (n + 1) * (n^2+1)

Vom demonstra că n^4 -1 este divizibil cu 2^4, cu 3 şi respectiv cu 5

Partea 1 – divizibilitatea cu 2^4

Deoarece n este prim => n este impar => n-1, n+1 şi respectiv n^2+1 sunt pare (divizibile cu 2)

n-1 si n+1 => numere pare consecutive => fie n-1, fie n+1 este divizibil şi cu 4

=> Produsul (n – 1) * (n + 1) * (n^2+1) este divizibil cu 2^4

Partea a 2-a – divizibilitatea cu 3

n-1, n si n+1 sunt trei numere consecutive => unul dintre ele este divizibil cu 3

n este un număr prim mai mare decât 5 => nu poate fi divizibil cu 3

în cazul în care n-1 sau n+1 sunt divizibile cu 3 =>

=>  Produsul (n – 1) * (n + 1) * (n^2+1) este divizibil cu 3

Partea a 3-a – divizibilitatea cu 5

Deoarece n este un număr prim mai mare decât 5 =>

Numărul n se poate termina doar cu cifrele 1, 3, 7, 9

a) în cazul în care n se termina în cifra 1 =>

 n-1 – este divizibil cu 5

b) în cazul în care n se termină în cifra 3 =>

n^2 +1 este divizibil cu 5

c) în cazul în care n se termina în cifra 7 =>

n^2 +1 este divizibil cu 5

d) în cazul în care n se termină în cifra 9 =>

n+1 este divizibil cu 5

a) +  b) + c) + d) =>  Produsul (n – 1) * (n + 1) * (n^2+1) este divizibil cu 5

Deoarece am demonstrat că produsul (n – 1) * (n + 1) * (n^2+1) (unde n – prim > 5) este pe rând divizibil cu 2^4, 3 şi respectiv 5 =>

n^4-1 este divizibil cu 240

Q.E.D.