Problemă probabilitaţi (3)

http://www.gottfriedville.net/mathprob/prob-3cards.html

Enunţ:

Să presupunem că se împart 3 cărţi dintr-un pachet standard de 24 de cărţi de joc (constând din 4 aşi, 4 – 2-ari, 4 3-ari, 4 4-ari, 4 5-ari si 6 şesari.

Care este probabilitatea de a avea în mână cel puţin două cărţi de inimă roşie?

Demonstraţie:

1.  Numărul total de variante de 3 cărţi extrase dintr-un total de 24 de cărţi de joc (nu contează ordinea) este

N_t = C₂₄³ (combinări de 24 luate cate 3) = (24)!/((24-3)!(3)!) = 2024

2. Numărul total de variante 3 cărţi din care cel puţin două de inima roşie este

N_tr = N_tr2 + N_tr3

Unde

N_tr2 - Numărul de variante 3 cărţi din care două sunt de inimă roşie

N_tr3 - Numărul de variante 3 cărţi din care toate sunt de inimă roşie

a) Numărul de variante 3 cărţi din care două sunt de inimă roşie

Numărul de variante 2 cărţi de inimă roşie extrase dintr-un total de 6 cărţi de inimă roşie (nu contează ordinea) este

N_r2 = C₆² (combinări de 6 luate cate 2) = 6!/((6-2)!)*(2)!) = 15

Deoarece pentru fiecare variantă de două cărţi de inima roşie extrase există 18 (24 de carti – 6 cărţii inima roşie) variante de trei cărţi din care două sunt de inima roşie =>

Numărul de variante 3 cărţi din care 2 sunt de inimă roşie este

N_tr2 = 18 * 15 =  270

b) Numărul de variante 3 cărţi din care toate sunt de inima roşie

N_tr3 = C₆³ (combinări de 6 luate cate 3) = 6!/((6-3)!)*(3)!) = 20

a) + b) =>

N_tr = N_tr2 + N_tr3 = 270 + 20 = 290 (se poate folosi şi formula lui Vasiliu)

1.  + 2. => P – probabilitatea de a avea in mana cel puţin două cărţi de inimă roşie (din trei cărţi) este

P = N_tr / N_r = 290 / 2024 ~ 0,14 =>

P ~ 14%