Enunț:
Daca n este un număr
prim mai mare decât 5, să se demonstreze că n^4 -1 este divizibil cu 240.
Demonstraţie:
Ştim că:
240 = 2^4 * 3 * 5
şi
n^4 - 1 = (n – 1)
* (n + 1) * (n^2+1)
Vom demonstra că
n^4 -1 este divizibil cu 2^4, cu 3 şi respectiv cu 5
Partea 1 –
divizibilitatea cu 2^4
Deoarece n este
prim => n este impar => n-1, n+1 şi respectiv n^2+1 sunt pare (divizibile
cu 2)
n-1 si n+1 =>
numere pare consecutive => fie n-1, fie n+1 este divizibil şi cu 4
=> Produsul (n
– 1) * (n + 1) * (n^2+1) este divizibil cu 2^4
Partea a 2-a –
divizibilitatea cu 3
n-1, n si n+1
sunt trei numere consecutive => unul dintre ele este divizibil cu 3
n este un număr
prim mai mare decât 5 => nu poate fi divizibil cu 3
în cazul în care
n-1 sau n+1 sunt divizibile cu 3 =>
=> Produsul (n – 1) * (n + 1) * (n^2+1) este
divizibil cu 3
Partea a 3-a –
divizibilitatea cu 5
Deoarece n este
un număr prim mai mare decât 5 =>
Numărul n se
poate termina doar cu cifrele 1, 3, 7, 9
a) în cazul în
care n se termina în cifra 1 =>
n-1 – este divizibil cu 5
b) în cazul în
care n se termină în cifra 3 =>
n^2 +1 este
divizibil cu 5
c) în cazul în
care n se termina în cifra 7 =>
n^2 +1 este
divizibil cu 5
d) în cazul în
care n se termină în cifra 9 =>
n+1 este
divizibil cu 5
a) + b) + c) + d) => Produsul (n – 1) * (n + 1) * (n^2+1) este
divizibil cu 5
Deoarece am demonstrat
că produsul (n – 1) * (n + 1) * (n^2+1) (unde n – prim > 5) este pe rând
divizibil cu 2^4, 3 şi respectiv 5 =>
n^4-1 este
divizibil cu 240
Q.E.D.
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu