Spaţiu, timp, univers de Lee Smolin

Problemă probabilitaţi (3)

http://www.gottfriedville.net/mathprob/prob-3cards.html

Enunţ:

Să presupunem că se împart 3 cărţi dintr-un pachet standard de 24 de cărţi de joc (constând din 4 aşi, 4 – 2-ari, 4 3-ari, 4 4-ari, 4 5-ari si 6 şesari.

Care este probabilitatea de a avea în mână cel puţin două cărţi de inimă roşie?

Demonstraţie:

1.  Numărul total de variante de 3 cărţi extrase dintr-un total de 24 de cărţi de joc (nu contează ordinea) este

N_t = C₂₄³ (combinări de 24 luate cate 3) = (24)!/((24-3)!(3)!) = 2024

2. Numărul total de variante 3 cărţi din care cel puţin două de inima roşie este

N_tr = N_tr2 + N_tr3

Unde

N_tr2 - Numărul de variante 3 cărţi din care două sunt de inimă roşie

N_tr3 - Numărul de variante 3 cărţi din care toate sunt de inimă roşie

a) Numărul de variante 3 cărţi din care două sunt de inimă roşie

Numărul de variante 2 cărţi de inimă roşie extrase dintr-un total de 6 cărţi de inimă roşie (nu contează ordinea) este

N_r2 = C₆² (combinări de 6 luate cate 2) = 6!/((6-2)!)*(2)!) = 15

Deoarece pentru fiecare variantă de două cărţi de inima roşie extrase există 18 (24 de carti – 6 cărţii inima roşie) variante de trei cărţi din care două sunt de inima roşie =>

Numărul de variante 3 cărţi din care 2 sunt de inimă roşie este

N_tr2 = 18 * 15 =  270

b) Numărul de variante 3 cărţi din care toate sunt de inima roşie

N_tr3 = C₆³ (combinări de 6 luate cate 3) = 6!/((6-3)!)*(3)!) = 20

a) + b) =>

N_tr = N_tr2 + N_tr3 = 270 + 20 = 290 (se poate folosi şi formula lui Vasiliu)

1.  + 2. => P – probabilitatea de a avea in mana cel puţin două cărţi de inimă roşie (din trei cărţi) este

P = N_tr / N_r = 290 / 2024 ~ 0,14 =>

P ~ 14% 

Problemă de teoria numerelor (2)

http://www.gottfriedville.net/mathprob/nt-divby6.html

Enunț:

Arătați că pentru oricare număr natural n expresia n^3+11n este divizibilă cu 6.

Demonstraţie:

n^3 + 11n = n^3 + 11n = n^3 + 12n – n = n(n^2-1) + 12n = (n-1) * n * (n+1) + 12n

deoarece expresia 12n este divizibilă cu 6 este suficient să demonstrăm că

expresia (n – 1) * n * (n + 1) este divizibilă cu 6 (cu 2 şi respectiv cu 3)

deoarece n – 1, n şi respectiv n + 1 sunt 3 numere naturale consecutive cu siguranţă

- cel puţin unul dintre ele este par şi

- cel puţin unul dintre ele este divizibil cu 3

=> expresia n^3 + 11 n este divizibilă cu 6

Q.E.D. 

Problemă de teoria numerelor (1)

http://www.gottfriedville.net/mathprob/nt-div240.html

Enunț:

Daca n este un număr prim mai mare decât 5, să se demonstreze că n^4 -1 este divizibil cu 240.

Demonstraţie:

Ştim că:

240 = 2^4 * 3 * 5 şi

n^4 - 1 = (n – 1) * (n + 1) * (n^2+1)

Vom demonstra că n^4 -1 este divizibil cu 2^4, cu 3 şi respectiv cu 5

Partea 1 – divizibilitatea cu 2^4

Deoarece n este prim => n este impar => n-1, n+1 şi respectiv n^2+1 sunt pare (divizibile cu 2)

n-1 si n+1 => numere pare consecutive => fie n-1, fie n+1 este divizibil şi cu 4

=> Produsul (n – 1) * (n + 1) * (n^2+1) este divizibil cu 2^4

Partea a 2-a – divizibilitatea cu 3

n-1, n si n+1 sunt trei numere consecutive => unul dintre ele este divizibil cu 3

n este un număr prim mai mare decât 5 => nu poate fi divizibil cu 3

în cazul în care n-1 sau n+1 sunt divizibile cu 3 =>

=>  Produsul (n – 1) * (n + 1) * (n^2+1) este divizibil cu 3

Partea a 3-a – divizibilitatea cu 5

Deoarece n este un număr prim mai mare decât 5 =>

Numărul n se poate termina doar cu cifrele 1, 3, 7, 9

a) în cazul în care n se termina în cifra 1 =>

 n-1 – este divizibil cu 5

b) în cazul în care n se termină în cifra 3 =>

n^2 +1 este divizibil cu 5

c) în cazul în care n se termina în cifra 7 =>

n^2 +1 este divizibil cu 5

d) în cazul în care n se termină în cifra 9 =>

n+1 este divizibil cu 5

a) +  b) + c) + d) =>  Produsul (n – 1) * (n + 1) * (n^2+1) este divizibil cu 5

Deoarece am demonstrat că produsul (n – 1) * (n + 1) * (n^2+1) (unde n – prim > 5) este pe rând divizibil cu 2^4, 3 şi respectiv 5 =>

n^4-1 este divizibil cu 240

Q.E.D.

Secţiunea de aur (Povestea lui phi - cel mai uimitor număr) de Mario Livio

Nivelele de RAID 0, 1, 5 şi 10 (Explicate cu diagrame)

 Traducerea articolului:
RAID 0, RAID 1, RAID 5, RAID 10 Explained with Diagrams by Ramesh Natarajan

RAID este acronimul pentru Redundant Array of Inexpensive (Independent) Disks.
Cele mai utilizate tipuri de RAID sunt următoarele:

• RAID 0
• RAID 1
• RAID 5
• RAID 10 (cunoscut şi sub numele de RAID 1+0)

Acest articol explică principalele diferenţe dintre aceste nivele de raid cu ajutorul unor diagrame simplificate şi uşor de înţeles.

În toate diagramele de mai jos:

• A, B, C, D, E şi F – reprezintă blocurile de date
• p1, p2 şi p3 – reprezintă informaţiile de paritate

RAID NIVEL 0

Principalele caracteristici ale RAID-ului de nivel 0:

• Minimum 2 discuri.
• Performanţă excelentă (deoarece blocurile de date sunt distribuite pe discuri diferite).
• Fără redundanţă ( fără replicare, fără informaţii de paritate ).
• Recomandare: A nu se folosi pentru sisteme critice.

RAID NIVEL 1

Principalele caracteristici ale RAID-ului de nivel 1:

• Minimum 2 discuri.
• Performanţă bună ( informaţiile nu sunt distribuite; nu există informaţii de paritate).
• Redundanţă excelentă ( blocurile de date sunt replicate ).

 

RAID NIVEL 5

Principalele caracteristici ale RAID-ului de nivel 5:

• Minimum 3 discuri.
• Performanţă bună (blocurile de date sunt distribuite).
• Redundanţă bună ( informaţii de paritate distribuite ).
• Eficienţă maximă din punct de vedere al costului deoarece asigură o bună performanţă şi o bună redundanţă. De utilizat în cazul bazelor de date pe care se execută intensiv operaţiuni de citire. În cazul nivelului de RAID 5, operaţiile de scris vor fi încete.

RAID NIVEL 10

Principalele caracteristici ale RAID-ului de nivel 10:

• Minimum 4 discuri.
• Redundanţă excelentă (blocurile de date sunt replicate)
• Performanţă excelentă (blocurile de date sunt distribuite)
• Este cea mai bună opţiune pentru orice aplicaţie de tip “mission critical“ (în special pentru baze de date).

Problemă de geometrie plană

Date iniţiale:

      1.    ABCD – pătrat cu latura de lungime L

2.   Se construieşte segmentul (DE) astfel încât unghiul EDC=15^o

3.   Se construieşte segmental (DF) astfel încât unghiul ADF=30^o

 

De aflat: măsura unghiului FED.

Rezolvare:

1. Construcţia ajutătoare : triunghiul DCH  astfel încât unghiul CDH=15^o  =>

=> unghiul EDC ≡ unghiul CDH  => [EC] = [CH]

2. unghiul GDH = unghiul GHD = 75^o => triunghiul GDH – isoscel =>[GD] = [GH]
3. în triunghiul GDC :

Dacă construim segmentul de dreaptă (JC) a.î. unghiul JCD = 60^o =>

triunghiul DJC – echilateral

triunghiul JCG – isoscel    =>

=> 2*[DC] = [GD] = 2*L

2. + 3. => [GB] + [BE] + [EC] + [CH] = 2*L

                 [BE] + [EC] = L                                   =>

                  [EC] = [CH] (1.)                                 

=>  [GB] + [EC] = L

      [BE] + [EC] = L  =>

=> [GB] = [BE] => triunghiul GFE – isoscel =>

=> unghiul FGE = unghiul GEF = 30^o =>

=> măsura unghiului FED este 75^o