Care este probabilitatea de a obţine (cel puţin) un sase-sase din 25 de aruncări?

Formula de calcul este:

                                 _n

                Σ C_n^a (N-1)^n-a

       _{P =}      ^a=i                           

                                     Nⁿ

^{unde N = numărul de variante pentru o extragere}

        ^{n =  numărul de extrageri}

        ^{i = numărul de apariţii ale aceluiaşi eveniment} 

^{(vezi postarea precedenta)}

^{in acest caz avem:}

^{N=36 (36 de variante la o aruncare a doua zaruri)}

^{n=25 (25 de aruncar)}

^{i=1 (cel putin un 6-6)}

^{1. Calculam termenul de deasupra fractiei:}

^{... utilizand magia excelului:}

	A	B	C	D	E	F=B*E
	Nr. De aruncari (a)	Combinari (de 25 luate cate a)	N-1	n-a	N-1 la puterea n-a
	1	25	35	24	1,14191E+37	2,85478E+38
	2	300	35	23	3,26261E+35	9,78783E+37
	3	2300	35	22	9,32174E+33	2,144E+37
	4	12650	35	21	2,66335E+32	3,36914E+36
	5	53130	35	20	7,60958E+30	4,04297E+35
	6	177100	35	19	2,17417E+29	3,85045E+34
	7	480700	35	18	6,2119E+27	2,98606E+33
	8	1081575	35	17	1,77483E+26	1,91961E+32
	9	2042975	35	16	5,07094E+24	1,03598E+31
	10	3268760	35	15	1,44884E+23	4,73591E+29
	11	4457400	35	14	4,13955E+21	1,84516E+28
	12	5200300	35	13	1,18273E+20	6,15054E+26
	13	5200300	35	12	3,37922E+18	1,7573E+25
	14	4457400	35	11	9,65492E+16	4,30358E+23
	15	3268760	35	10	2,75855E+15	9,01703E+21
	16	2042975	35	9	7,88156E+13	1,61018E+20
	17	1081575	35	8	2,25188E+12	2,43557E+18
	18	480700	35	7	64339296875	3,09279E+16
	19	177100	35	6	1838265625	3,25557E+14
	20	53130	35	5	52521875	2,79049E+12
	21	12650	35	4	1500625	18982906250
	22	2300	35	3	42875	98612500
	23	300	35	2	1225	367500
	24	25	35	1	35	875
	25	1	35	0	1	1
SUMA						4,08612E+38

Termenul de deasupra fractiei are valoarea: 4,08612E+38

2. Calculam termenul de sub fractie (excel)

Nn= 8,08281E+38

Termenul de sub fractie are valoarea: 8,08281E+38

1. + 2. =>

P =  4,08612E+38/8,08281E+38 = 50,55315462

Probabilitatea de a obtine un 6-6 din 25 de aruncari este mai mare de 1/2...

Care este probabilitatea de a obţine (cel puţin) un sase cu un zar din 4 aruncări?

1. Calculam numărul de variante posibile:

6⁴ = 1296

2. Calculam numărul de variante in care poate apare (cel puţin un) 6:

Variantele sunt:

a) Apar 4 de 6:  6666 – 1 varianta

b) Apar 3 de 6:  666X, 66X6, 6X66, X666

Unde X poate aparţine intervalului de numere naturale 1- 5.

ð     666X – 5 variante

ð     66X6 – 5 variante

ð     6X66 – 5 variante

ð     X666 – 5 variante

20 variante pentru apariţia a trei de 6

c) Apar 2 de 6: 66XX, 6X6X, 6XX6, X6X6, XX66, X66X

Unde X poate aparţine intervalului de numere naturale 1- 5.

In oricare dintre variantele de mai sus variantele de apariţie XX este 5² = 25.

ð     66XX – 25 variante

ð     6X6X – 25 variante

ð     6XX6 – 25 variante

ð     X6X6 – 25 variante

ð     XX66 – 25 variante

ð     X66X – 25 variante

150 de variante de apatie a doi de 6

d) Apare un singur 6: XXX6, XX6X, X6XX, 6XXX

Unde X poate aparţine intervalului de numere naturale 1- 5.

In oricare dintre variantele de mai sus variantele de apariţie XXX este 5³ = 125

ð     XXX6 – 125 variante

ð     XX6X – 125 variante

ð     X6XX – 125 variante

ð     6XXX – 125 variante

500 de variante de apariţie a unui singur 6.

a) + b) + c) + d) => numărul de variante in care poate apare (cel puţin un) 6 este

1 + 20 + 150 + 500 = 671

1) + 2) => Probabilitatea de apariţie a (cel puţin) unui 6 cu un zar din 4 aruncări este

P = 671/1296 * 100 = 51,77%

Later edit (am incercat sa generalizez):

Formula de calcul (formula lui Vasiliu  - pana voi afla daca nu cumva a descoperit-o altcineva inaintea mea :)):

                                 _n

                Σ C_n^a (N-1)^n-a

       _{P =}      ^a=i                           

                                     Nⁿ

^{unde N = numărul de variante pentru o extragere}

        ^{n =  numărul de extrageri}

        ^{i = numărul de apariţii ale aceluiaşi eveniment} 

^{formula se verifica pentru N=6, n=4 şi i=1}

^{În viitoarea postare voi căuta să găsesc numărul de aruncări pentru care probabilitatea de a obţine 6 6  (cu două zaruri) depăşeşte 1/2, folosind formula de mai sus. (N=36, n=25 si i=1)...}